まずは、長方形でやってみるとよくわかる…じつに、単純極まりない形が「美しく、複雑なパターン」に一変する「驚愕の手法」

ノーベル賞学者としても有名な天才物理学者・数学者のロジャー・ペンローズが、1970年代から半世紀にわたって探し求めてきた「ある図形」が話題になっています。

その名は「アインシュタイン・タイル」。

2023年にようやく発見されたその図形とは、いったいどのようなものなのでしょうか？

ペンローズが考案した「ペンローズ・タイル」を超える“幾何学上の大発見”について、ビジュアル重視でやさしく詳しく解説した『ペンローズの幾何学』が刊行され、たちまち大増刷と大きな反響を得ています。

パズル感覚で楽しむことができ、しかも奥深い「平面幾何」の世界を探訪してみましょう。

※この記事は、『ペンローズの幾何学』の内容から再構成・再編集したものです。

平面充填(じゅうてん)をもとにした模様のデザインを「テセレーション(tessellation)」といいます。

もともとは四角形を敷き詰めることを指す用語でしたが、平面を隙間なく埋めることのできる形状、もしくは形状の組み合わせによる敷き詰めも含むようになりました。

形状の変形や、表面の描き込みなどテセレーションのデザイン手法はさまざまです。そのデザイン内容によって、数学上の分類が異なる可能性はありますが、同じくテセレーションだと考えられるわけです。

なお、より一般的には2次元平面以外の曲面や3次元でもテセレーションはありえますが、ここでは2次元平面に限定して話を進めます。

『ペンローズの幾何学』では、もう少し詳しい話をしますが、ある種の形状は「複数の並べ方」が可能です。

たとえば、正三角形と正方形は水平方向にずらすことで、別の平面充填ができることを、チェックしてみてください。正六角形などは一義的な平面充填しかできないことも、あらためて確認しておきましょう。

ここでは、正方形2個分の形をした長方形の例で考えてみましょう。辺の比が2対1の長方形で、この連載でもお馴染みの「畳タイル」です。

次の図に示すように、この長方形は角と角をすべて合わせる障子の桟のような並べ方(ア)もできますし、レンガを積んだような並べ方(ウ)もできます。

その他いろいろな並べ方が可能で、これはたとえば100畳の間(ま)に畳をどう敷くかという感覚と似ています。現実的には、端の部分(部屋の隅)に半畳などの別の形状が必要になりますが、ここでは無視します。

たとえば、上図の右上に示された(カ)を見てください。ぱっと見た感覚ではバラバラに見えるかもしれません。畳4枚で「4×2」の長方形を作り、それを並べただけのようにも見えます。

しかし、(カ)の下に示された、4枚の長方形で作られた風車のようなパターンごとに(カ)に色を塗ってみると、まったく異なる印象の模様が姿を現します。興味のある人はぜひ試してみてください。

「百聞は一見に如かず」といいます。簡単に作れる実例を示すことで、テセレーションの理解を深めてもらいましょう。