なんと、「紀元前から」探し始めて、まだ「たったの51個」…じつは「偶数しか見つかっていない」完全数の、じつに「謎だらけ」性質
素数シリーズ三部作の著者コンビが、6と28にまつわる完全数のお話を紹介。
6と28はともに偶数であり、自身を除いた約数を足すと自身になる完全数である。
6月28日は「パフェの日」としても知られるが、完全数の日としても特別な意味を持っている。
「素数シリーズ三部作」(『素数が奏でる物語』『素数はめぐる』『有限の中の無限』)でブルーバックスを代表する人気著者コンビ・西来路文朗さんと清水健一さん。最新刊『ガウスの黄金定理』も大好評のお二人が、新しい「数の世界」を案内してくださいます！
今回は、今日6月28日にちなんで、「6」と「28」にまつわるお話です。
この2つの数字に共通するのは、ともに「偶数」であることと、ともに「完全数」であること。
「完全な数」とは、また大げさな名前ですが、ピタゴラスやユークリッドに始まり、オイラーにいたるまで、名だたる数学者たちを夢中にさせ続けてきた「謎めいた数」なのです。
なにしろ、まだ「51」個しか発見されておらず、そのすべてが「偶数」だというのですが……!?
「○○の日」という名前のついたいろいろな記念日があります。国民の祝日として定められている「成人の日」「こどもの日」などがありますし、語呂合わせで2月3日は「ふみの日」、4月6日の「城の日」など、たくさんの記念日が考えられています。
では、今日、6月28日はなんの記念日かご存じでしょうか。
この日は「パフェの日」とよばれています。プロ野球史上初めてパーフェクトゲーム(完全試合)を達成した日ですが、フランス語の「パルフェ」がパーフェクトという意味があるところから、英語読みの「パフェ」が広まり、「パフェの日」というようになったそうです。
しかし、6月28日はもうひとつ、「完全数の日」ともよばれています。こちらの呼び名はあまり知られていないかもしれません。数学的な意味合いからつけられていて、6と28がともに「完全数」とよばれる数であることに由来しています。
「完全数」とはどのような数でしょうか。
6の約数は、1, 2, 3, 6の4つです。1とその数自身はいつも約数として考えます。6の約数の中で、6自身を除いた約数を足してみると
1+2+3=6
となり、「自分自身を除いた約数を足すと、その数自身になっている」という特別な性質をもっています。このような性質をもった数を「完全数」といいます。
6の次の完全数は28です。28の約数で自分自身を除いた数は1, 2, 4, 7, 14です。これらを足すと
1+2+4+7+14=28
となります。
完全数のことを英語でパーフェクトナンバーといいますから、この意味でも6月28日は期せずして2つの「完全」が重なった日といえます。ここまでの詳しいことは、こちらの記事〈偶然にしては、じつに「できすぎ」ている…「パフェの日」にひそんでいた、まったく思いもよらない「衝撃の事実」〉を見てください。
ここでは、完全数についてもう少し詳しく説明してみましょう。
